{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e3e36e71",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Hjemmeopgave 2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6428479c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Læs reglerne her: [](afsnit:regler-hjemafl)\n",
    "\n",
    "> **Husk, alle svar skal begrundes. Du må (selvfølgelig) gerne bruge en lommeregner eller lignende til simple udregninger, fx en udregning af $P_4(1/2)$.**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bb98bce9",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Opgave 1: Beregning af cosinus-værdier"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "653c39e1",
   "metadata": {},
   "source": [
    "I Python kan værdien af fx $\\cos(\\sqrt{17})$ udregnes approksimativt ved kaldet:\n",
    " \n",
    "```python\n",
    "import math\n",
    "\n",
    "print(math.cos(math.sqrt(17)))\n",
    "```\n",
    "\n",
    "men hvordan udregner en computer egentlig dette? En computer bruger enten en *precomputed lookup table* eller approksimative polynomier eller en blanding af de to. I denne opgave ser vi på hvordan man kan gøre dette med Taylorpolynomier. \n",
    "\n",
    "Vi betragter funktionen $f:\\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}$ med forskrift:\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    f(x)=\\cos (x)\n",
    "\\end{equation*}"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "98e57972",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål a"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2022c34f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Bestem det approksimerende polynomium $P_4 = P_{4,f,x_0}$ af grad (højst) 4 og med udviklingspunkt $x_0 = 0$ for cosinus."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "82ab12c4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål b"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d6bea7a8",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Brug det fundne polynomium $P_4$ til at give en approksimativ værdi for $\\cos(1/2)$ og vurder hvor langt den fundne værdi ligger fra den eksakte.\n",
    "% Hvor stor er fejlen i $x=\\pi/2$? (Med \"fejlen\" menes afvigelsen mellem $P_4(\\pi/2)$ og $\\cos(\\pi/2)$)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e856d220",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål c"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "a7d02166",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Lad $I = [-\\pi/2, \\pi/2]$. Brug <a href=\"../_assets/textbook_mat1b_en.pdf#ta2\">Sætning 4.3.3</a> til at vise at\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "   \\lvert \\cos(x) - P_4(x) \\rvert \\le \\frac{(\\pi/2)^5}{5!} < \\frac{2^5}{5!} \n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "for alle $x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]$. Forklar med egne ord hvad tallet/størrelsen:\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "   \\max_{x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]} \\lvert \\cos(x) - P_4(x) \\rvert\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "beskriver."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b9f3556c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål d"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e67f22ef",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Vis at K'te grads Taylorpolynomiet $P_K$ med udviklingspunkt $x_0 = 0$ for cosinus opfylder\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "   \\lvert \\cos(x) - P_K(x) \\rvert < \\frac{2^{K+1}}{(K+1)!} \n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "for alle $x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]$. Bestem $K$ så fejlen er mindre end $10^{-10}$. *Med \"fejlen\" menes den største numeriske afvigelse mellem $P_K(x)$ og $\\cos(x)$ for $x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]$*.  \n",
    "\n",
    "```{hint}\n",
    ":class: dropdown\n",
    "Du behøver ikke udregne $P_K(x)$. \n",
    "\n",
    "Når du skal bestemme $K$, er det nok at kigge på højresiden $\\frac{2^{K+1}}{(K+1)!}$. Du skal nok bruge en lommeregner eller lignende.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bd98fe98",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål e"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3ad0f796",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Vi kan nu med god nøjagtighed udregne $\\cos(x)$ for ethvert $x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]$ ved hjælp af Taylorpolynomiet $P_K$ med udviklingspunkt $x_0 = 0$ (for et fast, men tilstrækkeligt højt valgt $K$). Men hvordan udregner vi effektivt en tilnærmet værdi af $\\cos$ på resten af den reelle linje, altså når $x$ ligger uden for intervallet $[-\\pi/2, \\pi/2]$?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "08548f2c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "For at svare på dette spørgsmål lader vi $x \\in [-\\pi/2, \\pi/2]$ være givet og antager at værdien af $\\cos(x)$ er kendt (fx udregnet approksimativt som ovenfor). Forklar hvordan man for et vilkårligt givet $y \\in \\mathbb{R}$ nu kan finde værdien af $\\cos(y)$.\n",
    "\n",
    "```{hint}\n",
    ":class: dropdown\n",
    "Du skal kun bruge egenskaber for cosinus. Tegn grafen for $\\cos$ på $[-2\\pi,2\\pi]$. Brug at $\\cos$ er periodisk og \"ulige\" omkring $x = \\pi/2$. \n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6408e02e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Opgave 2: L'Hôpitals regel og Taylors grænseformel"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4441cf22",
   "metadata": {},
   "source": [
    "L'Hôpitals regel bruges til at bestemme grænseovergange af typen $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ hvor $f(a)=0$ og $g(a)=0$. Grænseovergangen siges i dette tilfælde at være at typen $\\frac{0}{0}$. Reglen siger:\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Sætning (L'Hôpital's Regel)\n",
    "Lad $I \\subseteq \\mathbb{R}$ være et åbent interval, lad $a \\in I$, og lad $f$ og $g$ være differentiable på $I\\setminus \\{a\\}$. Antag at:\n",
    "\n",
    "1. $\\lim_{x \\to a} f(x) = \\lim_{x \\to a} g(x) = 0$,\n",
    "2. $g'(x) \\neq 0$ for $x \\in I \\setminus \\{a\\}$,\n",
    "3. grænseovergangen $\\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}$ findes,\n",
    "\n",
    "så gælder:\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "     \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}.\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "```\n",
    "\n",
    "Betragt grænseovergangen:\n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "   \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1 + x)}{1 - \\sqrt{1 + x}}.\n",
    "\\end{equation*}"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "2093c720",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål a"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "eb17a276",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Vis, at denne grænse er af typen $\\frac{0}{0}$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1411973f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål b"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f6fe2886",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Tjek, at $g'(x) \\neq 0$ for $x$ tæt på $0$, så vi kan bruge reglen."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6eae2ddf",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål c"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "336d3ebb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Anvend L'Hôpital's regel for at bestemme grænseværdien."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bcb6502e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål d"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6f8ad4cf",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Find samme grænseovergang ved at bruge Taylor's grænseformel for $\\ln(1 + x)$ og $\\sqrt{1 + x}$ op til en passende orden."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4abb39d4",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål e"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "114e743c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Bevis L'Hôpital's regel ud fra Taylors grænseformel for generelle funktioner $f(x)$ og $g(x)$, der opfylder antagelserne i L'Hôpital's regel.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{hint}\n",
    ":class: dropdown\n",
    "Brug Taylorudviklingen af $f(x)$ og $g(x)$ omkring $ x = a $, op til første orden med *epsilon*-funktioner:\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\epsilon_f(x-a)(x-a),\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "og\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \\epsilon_g(x-a)(x-a).\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{admonition} Opdatering 12. marts\n",
    "Du må gerne antage at $g'(a) \\neq 0$. Det gælder tit (fx i vores anvendelse) og gør beviset simplere. \n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{hint}\n",
    ":class: dropdown\n",
    "Brug hvad du ved om $f(a)$ og $g(a)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "cfb3c44a",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Opgave 3: Værdimængden af en kontinuert, differentiabel funktion"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4b3c06fc",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Lad $B$ være mængden  $B=\\left\\{ (x_1 , x_2) \\in \\mathbb{R}^2 \\mid x_1^2 + x_2^2 \\leq 2 \\wedge x_1 \\leq 0 \\right\\}$.\n",
    "\n",
    "En funktion $f:B \\rightarrow \\mathbb{R}$ er givet ved: \n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "    f(x_1 ,x_2) =  x_1^2​ + x_2^2 + x_1​ + 1\n",
    "\\end{equation*}\n",
    "\n",
    "Angiv værdimængden for $f$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "0246b1eb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Opgave 4: Lokale ekstrema"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "b263907d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "En funktion $f:\\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}$ er givet ved: \n",
    "\n",
    "\\begin{equation*}\n",
    "f(x_1 ,x_2 )=x_1^2 - 2x_1 +3x_2^5 - 5x_2^3.\n",
    "\\end{equation*}"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "fdcb6814",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål a"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "46a0e30b",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Find samtlige stationære punkter for $f$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "3133b1cf",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål b"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "944c3884",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Angiv om der er tale om lokalt maksimum, minimum eller om der er saddelpunkt i de stationære punkter."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "8b5c1ed9",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Spørgsmål c"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bc397c3b",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Plot i Python for hvert stationært punkt funktionen sammen med det approksimerende polynomium $P_{2}$ af grad (højst) 2 udviklet fra det stationære punkt."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "jupytext": {
   "formats": "ipynb,md:myst",
   "text_representation": {
    "extension": ".md",
    "format_name": "myst",
    "format_version": 0.13,
    "jupytext_version": "1.16.0"
   }
  },
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "source_map": [
   13,
   17,
   23,
   27,
   45,
   49,
   53,
   57,
   62,
   66,
   82,
   86,
   106,
   110,
   114,
   123,
   127,
   152,
   156,
   160,
   164,
   168,
   172,
   176,
   180,
   184,
   188,
   215,
   219,
   231,
   235,
   243,
   247,
   251,
   255,
   259,
   263
  ]
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}