Uge 9: Afrunding

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber

• Parameterfremstillinger for kurver og flader i \(\mathbb{R}^n\)

• Kurvelængde

• Fladens normal

• Kurve- og fladeintegralet

• Stamfunktionsproblemet i \(\mathbb{R}^n\)

• Vektorfelter og gradientfelter

• Flux

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver

Der er ikke ekstra opgaver denne uge. Hvis du ikke har lavet alle opgaver fra de foregående uger, så vend tilbage til disse opgaver. Nedenfor findes opgaver, der falder uden for pensum, men som er relevante for fx studerende der skal lave projektet indenfor Vektoranalyse.

Endelig bør du forberede dig på gruppeprojektet ved at vende tilbage til de relevante kapitler fra lærebogen i Matematik 1a og Matematik 1b. Link til liste af relevante kapitler for de forskellige projekter deles i semesteruge 9.

Note

Dette er opgaver som fladeintegraler, flux og divergens, som ikke er pensum.

1: Overfladearealet at en kugle

Vi betragter en kugle i \(\mathbb{R}^3\) med centrum i \((0,0,0)\) og radius \(a > 0\). Betragt kuglens rand (også kaldet sfæren)

\[\begin{equation*} \{ \pmb{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \Vert \pmb{x} \Vert = a \} \end{equation*}\]

Overfladearealet af kuglen er (kendt fra skolen) \(4 \pi a^2\). Genfind dette udtryk ved hjælp af et fladeintegral og en parametrisering af sfæren.

2: Flux gennem parameterflader. Håndregning

Givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(\cos(x),\cos(x)+\cos(z),0) \end{equation*}\]

samt en flade \(\mathcal{F}\), som er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v)=(u,0,v), \quad u\in\left[ 0,\pi\right] ,\quad v\in\left[ 0,2\right] . \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor \(\pmb{n}_{\mathcal{F}}(u,v)\). Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn dernæst vektorfeltets flux gennem fladen.

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{F}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} = -\sin(2)\pi. \end{equation*}\]

Spørgsmål b

Hvilken betydning har fluxens fortegn? Kan du skifte fortegnet for fluxen ved at ændre fladens parameterfremstilling?

Spørgsmål c

Givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(yz,-xz,x^2+y^2) \end{equation*}\]

samt en flade \(\mathcal{F}\), som er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v)=(u\sin(v),-u\cos( v),uv), \quad u\in\left[ 0,1\right] ,\quad v\in\left[ 0,1\right] . \end{equation*}\]

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor \(\pmb{n}_{\mathcal{F}}(u,v)\). Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn vektorfeltets flux gennem fladen.

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{F}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} = \frac{3}{8}. \end{equation*}\]

3: Coulomb-vektorfeltet

Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt:

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\} \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)= \left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac32} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Bemærk at Coulomb-vektorfeltet ikke kan defineres på hele \(\mathbb{R}^3\). Der gælder dog at definitionsmængden \(U = \mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\}\) er åben, som er standard-antagelsen for vetorfelter i bogen.

En massiv cylinder \(B\) af højde \(2h\) og diameter \(2a\), hvor \(a\) og \(h\) er positive reelle tal, er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=\left(u\cos(w),u\sin(w),v\right), \quad u\in\left[0,a\right], \; v\in[-h,h], \; w\in \left[-\pi,\pi\right]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Tegn en skitse af \(B\) (det er nemmest med papir og blyant) og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som randen \(\partial B\) af \(B\) består af: Bunden, toppen og den rørformerede del.

Hint

Da der er tale om flader, bør hver parameterfremstilling have to parametre.

Spørgsmål b

Bestem fluxen af \(\pmb{V}\) ud gennem \(\partial B\):

\[\begin{equation*} \int_{\partial B} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} \end{equation*}\]

ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som \(\partial B\) består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for \(a\) og \(h\) gående mod 0?

Hint

Husk at tjekke retningen på dine normal-vektorer. De skal pege væk fra \(B\).

4: Flux via Divergens-sætningen

Divergens-sætningen er ikke en del af pensum, men vi skal i denne opgave alligevel stifte bekendtskab med den:

---

Theorem (Divergence): Let \(\pmb{V}\) be a \(C^1\) vector field on an open set \(U\subseteq \mathbb{R}^3\), and let \(B \subseteq U\) be a bounded subset with a piecewise \(C^1\) boundary \(\mathcal{F}=\partial B\). Suppose \(\pmb{r}: \Gamma \to \mathbb{R}^3\), \(\Gamma \subset \mathbb{R}^2\), is a parametrization of the surface \(\mathcal{F}\) with outward-pointing normal. Then

(2)\[\begin{equation} \int_{\partial B} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} =\int_{B}\mathrm{div} (\pmb{V}) \, \mathrm{d} X. \end{equation}\]

---

Divergensen \(\mathrm{div} (\pmb{V})\) er defineret som sporet af Jacobi-matricen:

(3)\[\begin{equation} \mathrm{div} (\pmb{V}) = \mathrm{tr} (\pmb{J}_{\pmb{V}}) \end{equation}\]

Hvis vi tænker på vektorfeltet som hastighedsfeltet for en væske, så måler divergensen den infinitisimale udvidelse- eller sammentræknings-rate af væsken. Hastighedsfeltet af en inkompressibel væske har nul divergens.

Givet \(C^1\)-vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(-8x,8,4z^3) \end{equation*}\]

og et rumligt område

\[\begin{equation*} \Omega=\lbrace (x,y,z)\,\vert\, x^2+y^2+z^2\leq a^2\,\, \mathrm{og}\,\, z\geq 0\rbrace\,,\,a>0, \end{equation*}\]

hvis overflade \(\,\partial \Omega\,\) er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektorfelt \(\,\pmb n_{\,\partial \Omega}\,\).

Spørgsmål a

Bestem rumintegralet

\[\begin{equation*} \int_{\Omega}\mathrm{div}(\pmb{V})\, \mathrm{d} X. \end{equation*}\]

Hint

\(\Omega\) kan parametriseres ved

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=(u\sin v \cos w,u\sin v\sin w,u\cos v), \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} u\in\left[ 0,a\right] ,\, v\in\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right] ,\, w\in\left[ -\pi,\pi\right]\,. \end{equation*}\]

Spørgsmål b

Bestem fladeintegralet for vektorfeltet:

\[\begin{equation*} \int_{\partial\,\Omega}\,\pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} \end{equation*}\]

Hint

Bemærk, at overfladen af \(\Omega\) består at to dele: En halvkugleskal og en cirkulær bundflade.

Svar

Hvis Gauss har ret, fås samme facit i de to spørgsmål. Svaret er

\[\begin{equation*} 8a^3\pi\,(\frac 15 a^2 - \frac 23)\,. \end{equation*}\]

Spørgsmål c

For hvilke \(\,a\,\) er fluxen med det angivne normalvektor positiv (dvs. “udstrømningen gennem \(\partial \Omega\) er større end indstrømningen”).

Svar

Fluxen er negativ for \(\,0<a<\frac{\sqrt{30}}{3}\,\), ellers positiv.

Spørgsmål d

Gauss’ sætning om relationen mellem divergensintegralet og vektorfeltets fladeintegral kan ses som en generalisering af infinitisemalregningens hovedsætning:

\[\begin{equation*} \left[ F(x)\right] _a^b=\int_a^b F'(x)\mathrm{d}x\,? \end{equation*}\]

Svar

Divergensen kan betragtes som en passende erstatning af den afledede af en funktion \(F'(x)\). I begge tilfælde kan vi sige at vi har skubbet integrationen ‘’ud på randen’’: For et inteval \([a,b]\) er randen endepunkterne \(a\) og \(b\), mens for et rumintegral over et område er det områdets overflade.