Uge 7: Øvelser

Opgaver – Store Dag

1: Regneregler for stamfunktioner. Håndregning

Find det ubestemte integral \(\int \left( 5\cos(x+1)-\sin(5x)+\frac{2}{x-3}-7\right)\mathrm{d}x\) for \(x>3\) og gør rede for de regneregler du har brugt undervejs.

Svar

\[\begin{equation*} 5\sin(x+1)+\frac 15\cos(5x)+2\ln(x-3)-7x+C, \quad x>3, \end{equation*}\]

hvor \(C \in \mathbb{R}\) er en arbitrær konstant.

2: Riemann-sum for en lineær funktion

Givet funktionen \(f:[0,5] \rightarrow \mathbb{R}\) med forskrift \(f(x)=2x+3\).

Spørgsmål a

Find ved hjælp af Python en værdi for Riemann-summen over intervallet \([0,5]\) med 30 del-intervaller hvor først del-intervallernes venstre interval-endepunkter benyttes, gentag for de højre interval-endepunkter.

Spørgsmål b

Find eksakte værdier for Riemann-summen over intervallet \([0,5]\) med \(n\) del-intervaller hvor først del-intervallernes venstre interval-endepunkter benyttes, gentag for de højre interval-endepunkter.

Spørgsmål c

Angiv et eksakt udtryk for den maksimale og minimale fejl, begge udtryk skal kun afhænge af \(n\). (Hvis Riemannsummen angiver en approksimativ værdi for Riemann integralet).

Spørgsmål d

Argumenter, i dette specielle tilfælde, for at Riemann-summen har samme grænseværdi uanset valg af punkt i del-intervallet.

3: Brug af Fundamentalsætningen

Spørgsmål a

Angiv en stamfunktion til \(\frac{1}{1+x^2}\). Bestem derefter integralet \(\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\).

Hint

Hvis du ikke kan huske stamfunktionen til \(\frac{1}{1+x^2}\), må du benytte SymPy til at finde den.

Svar

Stamfunktionen er \(\arctan\). Integralet er \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\).

Spørgsmål b

Bestem dobbeltintegralerne

\[\begin{equation*} \int_1^2\Big (\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{2x}}{y}\mathrm{d}x\Big)\mathrm{d}y \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big (\int_0^1y\cos(xy)\mathrm{d}x\Big)\mathrm{d}y \end{equation*}\]

Hint

Beregn først det inderste integral, mens du betragter \(y\) som en konstant. Derefter det yderste integral med \(y\) som variabel.

Svar

\[\begin{equation*} \frac12\left(\mathrm{e}^2-1\right)\ln(2)\quad \text{og}\quad 1 \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Lad \(f: [-5,5] \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } x \in [0,1] \\ 0 & \text{for } x \in [-5,5] \setminus [0,1]. \end{cases} \end{equation*}\]

Udregn:

\[\begin{equation*} F(x) = \int_{x_{0}}^{x} f(y) \mathrm{d} y \quad \text{for $x \in [-5,5]$}, \end{equation*}\]

hvor \(x_{0}\in [-5,5]\) er fast, men vilkårlig. Vælg fx \(x_0=0\). Er \(F\) kontinuert? Er \(F\) differentiabel i alle punkter? Er \(F\) en stamfunktion for \(f\)?

Hint

Brug fx SymPy, hvis du sidder fast.

4: Parametriseringer i planen. Håndregning

Betragt mængderne \(U \subset \mathbb{R}^2\) givet ved

\[\begin{equation*} U = B((0,0),2) \setminus \overline{B((0,0),1)}, \end{equation*}\]

hvor \(B((0,0),r)\) er den åbne cirkelskive (open ball) med radius \(r\) og centrum \((0,0)\) og \(\overline{B((0,0),r)}\) er den afsluttede/lukkede cirkelskive (hvor randen er med).

Lav en skitse af mængden \(U\). Angiv en parametrisering \(\pmb{p}: ]1,2[ \times [0,2\pi[ \to U\) af \(U\). Vektorfunktionen \(\pmb{p}\) skal være en funktion af to variable, i.e. \((r,\theta) \in ]1,2[ \times [0,2\pi[\), og billedmængden af \(\pmb{p}\) skal være \(U\).

Hint

Brug polære koordinater som kendt fra Matematik 1a.

5: Trapez-metoden og Riemann-summer

Det findes mange integraler som det ikke er muligt at udregne eksakt, ofte fordi stamfunktionen ikke kan udtrykkes ved en “kendt” funktion. Vi ønsker i denne opgave at udregne en tilnærmet værdi til:

\[\begin{equation*} \int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x \end{equation*}\]

SciPy-pakken i Python kan udregne (approksimationer til) integraler ved såkaldt numerisk integration. Vi vil her sammenligne SciPys quad-metode med både Riemann-summen som vi kender fra bogen og den såkaldte trapez-metode.

Ved trapez-metoden menes approksimationen til integralet over et lille interval \([x_{j-1},x_j]\) givet ved

\[\begin{equation*} \int_{x_{j-1}}^{x_{j}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x_{j}-x_{j-1})(f(x_{j-1})+f(x_{j})) \end{equation*}\]

mens vi ved middelsummer for Riemann integralt med valget \(\xi_j := \frac{x_{j}+x_{j-1}}{2}\) har

\[\begin{equation*} \int_{x_{j-1}}^{x_{j}} f(x)dx\approx f(\xi_j) (x_{j}-x_{j-1}), \end{equation*}\]

Hvis man gerne vil approksimere et integral over et større interval \([a,b]\), kan man indele det i flere små intervaller \(Q_j=[x_{j-1},x_j]\), \(j=1,\dots, J\), og approkismere dem hver for sig, hvorefter man kan lægge dem alle sammen igen - præcis som ved Riemann-summer.

Spørgsmål a

Argumenter for at \(\sin(x^2) \exp(3x)\) har en stamfunktion og at integralet \(\int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x\) er veldefineret. Prøv (i SymPy) at finde den eksakte værdi for

\[\begin{equation*} \int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x \end{equation*}\]

Brug .evalf() til at få en tilnærmet værdi af integralet.

Svar

Løsning ved hjælp af Sympy:

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1252.4529317 \end{equation*}\]

Man kan (sikkert) godt få SymPy og Maple til at angive en stamfunktion, men den bliver udtrykt ved en funktion \(\mathrm{erf}\) som hverken kan sige at være “kendt” (for os) eller have en “eksplicit” definition, og det giver os derfor ikke mere information end udtrykket \(\int \sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\).

Spørgsmål b

Udregn integralet med quad fra scipy.integrate. Du skal importere from scipy.integrate import quad og definere:

def f(x):
    return sin(x**2)*exp(3*x)

Hint

from scipy.integrate import quad

def f(x):
    return sin(x**2)*exp(3*x)

quad(f,0,3)

Svar

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1252.4529317 \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Vi vil gerne sammenligne det med det Riemann integral, vi har arbejdet med tidligere. Vi bruger Riemann-summer, hvor \([a,b]\) inddeles i \(J\) lige store delintervaller. Kan du selv implementere en funktion i Python, som regner det ud for dig? Det skal have formen

def riemann_sum(f,a,b,J):

hvor \(f\) er en kontinuert funktion, \(a\) og \(b\) er interval-endepunkterne og \(J\) antal inddelinger af integralet. Når du har skrevet den kan du teste den på samme integral som ovenfor med \(J=20\).

Hint

Det kan se ud som det her:

def riemann(f,a,b,J):
    w = (b - a)/J
    x_v = a
    result = 0
    for i in range(J):
        x_h = x_v + w
        result += ???
        x_v = x_h
    result *= w
    return result

Du bestemmer selv hvordan du vil vælge \(\xi_j\). Overfor har vi foreslået at du vælger \(\xi_j\) som midtpunktet af hvert del-interval.

Svar

Det kan se ud som det her:

def riemann(f,a,b,J):
    w = (b - a)/J
    x_v = a
    result = 0
    for i in range(J):
        x_h = x_v + w
        result += f((x_h+x_v)/2)
        x_v = x_h
    result *= w
    return result

Svar

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1284.01 \end{equation*}\]

Spørgsmål d

Ved trapez-metoden approksimerer vi ikke længere arealet under en graf med et rektangel. Kan du komme frem til hvordan formen ser ud baseret på formlen ovenfor?

Hint

Se figurerne på https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule

Spørgsmål e

Implementer nu trapez-metoden

def trapez_sum(f,a,b,J):

hvor \(f\) er en kontinuert funktion, \(a\) og \(b\) er interval-endepunkterne og \(J\) antal inddelinger af integralet. Når du har skrevet den kan du teste den på samme integral som ovenfor med \(J=20\).

Spørgsmål f

Det ser ikke umiddelbart ud til vi får det samme værdi af integralet. Sammenlign dine resultater fra Spørgsmål a, b, c og e. Hvilken metode er bedst? Hvorfor mon? Prøv også både med flere og færre indelinger af intervallet.

6: Et uegentligt integral. Håndregning.

Spørgsmål a

Følgende er ikke et Riemann integral \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\). Hvorfor ikke?

Svar

Integralet er ikke (umiddelbart) veldefineret da \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) ikke er defineret på \([0,1]\) (og derfor slet ikke kontinuert på \([0,1]\)). Integranden \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) er dog veldefineret og kontinuert på \([a,1]\) for alle værdier af \(0<a<1\), hvilket vi bruger i næste spørgsmål.

Spørgsmål b

Udregn \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\) som \(\lim_{a \to 0} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\)

Hint

Find integralet \(\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\) og betragt grænseovergangen \(a \to 0\).

Svar

\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = \lim_{a \to 0} [2 \sqrt{x}]_a^1 = \lim_{a \to 0} ( 2-2\sqrt{a}) = 2\)

Spørgsmål c

Find på lignende måde integralet \(\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\) (hvis muligt).

Hint

Find integralet \(\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x\) og betragt grænseovergangen \(b \to \infty\).

Svar

Integralet konvergerer ikke: \(\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = [2 \sqrt{x}]_1^b = = 2\sqrt{b} - 2 \to \infty\) når \(b \to \infty\).

7: Variabelskift for et integral i 2D

Bestem integralet

\[\begin{equation*} \int_{0}^1\int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x\mathrm{d}y \end{equation*}\]

ved hjælp af variabelskift.

Hint

Faktoriser \(1/x\) ud af brøken.

Svar

\[\begin{equation*} \int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x=\frac{y}{y+1}\ln(8) \end{equation*}\]

Hint

Skift eventuelt variabel: \(z=y+1\).

Hint

Efter variabelskift kan det ubestemte integral skrives som

\[\begin{equation*} \int \frac{z-1}{z}\mathrm{d}z = \int 1 \mathrm{d}z - \int 1/z \mathrm{d}z \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_{0}^1\int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x\mathrm{d}y=\ln(8)(1-\ln(2)) \end{equation*}\]

Opgaver – Lille Dag

1: Ubestemte og bestemte integraler. Håndregning

Spørgsmål a

Bestem en stamfunktion til hver af funktionerne

\[\begin{equation*} x^3, \quad \frac{1}{x^3} \quad \text{og} \quad \sin(3x-\frac{\pi}{2}) \end{equation*}\]

Hint

Bemærk at det første eksempel blev taget op i Opgave I: Stamfunktioner til udenadslære.

Hint

Funktion nr 2: Brug omskrivningen \(\displaystyle{\frac{1}{x^3}=x^{-3}}\)

Svar

\[\begin{equation*} \frac{1}{4}x^4,-\frac{1}{2x^2}\mathrm{og}-\frac{1}{3}\cos(3x-\frac{\pi}{2}) \end{equation*}\]

Spørgsmål b

Udregn de følgende Riemann integraler

\[\begin{equation*} \int_0^{1}x^3\mathrm{d}x, \quad \int_1^{2}\frac{1}{x^3}\mathrm{d}x \quad \text{og} \quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\sin(3x-\frac{\pi}{2})\mathrm{d}x. \end{equation*}\]

Svar

\(\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\) og \(\frac{1}{3}\).

2: Partiel integration. Håndregning

Spørgsmål a

Vi skal først bevise formlen for partiel integration. Start med at differentiere udtrykket på højresiden af

\[\begin{equation*} \int f(x)g(x)\mathrm{d}x = F(x)g(x)- \int F(x)g^\prime(x) \mathrm{d} x. \end{equation*}\]

Hint

Husk hvordan man differentierer produktet af to funktioner.

Hint

Husk at hvis man differentierer \(\int h(x) \mathrm{d} x\) så får man per definition \(h(x)\).

Færdiggør nu beviset.

Spørgsmål b

Bestem en stamfuntion til funktionen \(x\cos(x)\), og tjek at den er korrekt.

Hint

Brug partiel integration, hvor du sætter \(f(x)=\cos(x)\) og \(g(x)=x\)

Hint

Se eksemplerne i bogen.

Svar

\(\cos(x)+x\sin(x)\). Idet \((\cos(x)+x\sin(x))'=-\sin(x)+\sin(x)+x\cos(x)=x\cos(x)\) har vi tjekket at stamfunktionen virkelig er en stamfunktion.

Spørgsmål c

Find en stamfunktion til \(\ln(x)\) ved hjælp af partiel integration.

Hint

Man kan altid gange \(\ln(x)\) med \(1\) uden at ændre på integranden.

Hint

Omskriv \(\ln(x)\) som \(f(x)\, \ln(x)\), hvor \(f(x)=1\).

3: Integration ved substitution. Håndregning

Til spørgsmålene i denne opgave, benyt substitutionsformlen

\[\begin{equation*} \int{f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x}=\int{f(t)\mathrm{d}t}\quad \text{hvor } t=g(x) \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Bestem en stamfunktion til \(\displaystyle{x\mathrm{e}^{x^2}}\).

Hint

Kan du identificere en indre funktion \(g(x)\) og en ydre funktion \(f(x)\)?

Hint

Hvis vi sætter \(g(x)=x^2\) og \(f(x)=\mathrm{e}^x,\) har vi \(f(g(x)) g'(x)=\mathrm{e}^{x^2} 2x=2(x\mathrm{e}^{x^2})\).

Svar

\(\displaystyle{\int{x\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x}=\frac 12\int{f(t)\mathrm{d}t}=\frac 12\mathrm{e}^t=\frac 12\mathrm{e}^{x^2}}\).

Spørgsmål b

Find det ubestemte integral \(\displaystyle{\int \frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x}\).

Hint

Kan du identificere en indre funktion \(g(x)\) og en ydre funktion \(f(x)\)?

Hint

Hvis vi sætter \(g(x)=x^2+1\) og \(f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}},\) har vi \(f(g(x))g'(x)=2\frac{x}{x^2+1}\).

Svar

\[\begin{equation*} \int \frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac 12\int f(t)\mathrm{d}t=\frac 12\int {\frac{1}{t}}\mathrm{d}t=\frac 12\ln(t)+C=\frac 12\ln(x^2+1)+C. \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Find en stamfunktion til \(\displaystyle{\frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)}}\) og bestem derefter \(\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} \mathrm{d}x}\).

Hint

Sæt \(g(x)\) lig med nævneren, osv.

Svar

\(\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} dx = \ln(4)-\ln(2)=\ln(2)}\).

4: Talfølger. Håndregning

I denne og den følgende opgave gives der smagsprøver på en vigtig byggesten for integralregning: Talfølger og deres eventuelle konvergens. Fra Den Store Danske (Gyldendal):

konvergens, begreb af fundamental betydning i matematisk analyse, specielt i teorien for uendelige rækker. En følge af reelle tal \(x_1,x_2,\ldots\) kaldes konvergent, hvis der findes et tal \(x\), så tallet \(x_n\) er vilkårligt tæt på \(x\), blot \(n\) er tilstrækkelig stor \((\ldots)\). Tallet \(x\) kaldes grænseværdien for følgen, som siges at konvergere mod \(x\) Hvis følgen ikke er konvergent, kaldes den divergent.

Mere præcist siges en talfølge \(x_1,x_2,\ldots\) at være konvergent hvis der findes et tal \(x\) med følgende egenskab:

\[\begin{equation*} \forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N}: n \ge N \Rightarrow |x_n -x| < \epsilon. \end{equation*}\]

Fire talfølger \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\), \((c_n)_{n=1}^\infty\) og \((d_n)_{n=1}^\infty\) er givet ved

\[\begin{equation*} a_n=\frac 1n, \: b_n=\frac{n-1}{2n}, \: c_n=\frac{n}{1000} \:\text{og}\; d_n=\frac{4n^2+16}{8-3n^2} \end{equation*}\]

for \(n \in \mathbb{N}\). En følge skrives kort \((a_n)\) for \((a_1, a_2, \dots)\) og kan opfattes som en uendelig liste (eng: infinite ordered list).

Afgør hvilke af de fire talfølger der er konvergente, og angiv grænseværdien for dem som er konvergente.

Note

Konvergens begrabet er ikke kun vigtigt i den matematiske analyse. Det er også den præcise bekskrivelse af “ingeniør-udsagn” som:

Vores algoritme/metode/osv. konvergerer hvis vi blot medtager nok målepunkter/datapunkter/samplinger/osv.

Hint

Hvis du ikke kan bevise det ud fra definitionen, så prøv at bruge Python til at eksperimere med. Du kan hurtigt udregne de første 100 eller 1000 tal i følgen.

Svar

\((a_n)\) er konvergent med grænseværdien 0. \((b_n)\) er konvergent med grænseværdien \(\frac 12\). \((c_n)\) er divergent. \((d_n)\) er konvergent med grænseværdien \(-\frac 43\).

5: Integraler via venstresummer. Håndregning

Vi skal udregne Riemann integralet \(\displaystyle{\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x}\) af funktionen

\[\begin{equation*} f(x)=x, \quad x\in \left[0,1\right] \end{equation*}\]

direkte fra definitionen (du må altså ikke finde en stamfunktion \(F(x)=x^2/2\) og så udregne \(F(1)-F(0)=1/2-0=1/2\)).

Vi opdeler intervallet \([0,1]\) i \(n\) lige store stykker, dvs \(x_j=j/n\) for \(j=0,1,2,\dots, n\). Riemann summen \(S_n\) kaldes for en ventresum \(V_n\), hvis vi altid evaluerer \(f\) i venstre endepunkt i hvert del-interval, altså \(\xi_j = x_{j-1}\) for \(\xi_j \in [x_{j-1},x_j]\) for \(j=1,2,\dots, n\).

Bestem ved hjælp heraf \(\displaystyle{\int_0^1 x\mathrm{d}x} = \lim_{n \to \infty} V_n\).

Hint

Vi skal først finde \(V_n\) udtrykt kun ved \(n\).

Hint

Rektanglerne har arealerne \(\displaystyle{0,\frac{1}{n^2},\frac{2}{n^2},\frac{3}{n^2}\ldots\frac{n-1}{n^2}}\). Hvad er summen af disse \(n\) led?

Hint

Antag \(n\) er ulige: Ignorer det første nul. Læg derefter anden led og sidste led sammen, læg 3. og næstsidste led sammen, og fortsæt sådan. Det er i alt \((n-1)/2\) gange du skal lægge to led sammen.

Hint

Hver sum af de to led har værdien \(n/n^2\) og du har \((n-1)/2\) af disse. Hvad er den samlede sum så?

Svar

\[\begin{equation*} V_n=\frac{n}{n^2} \frac{n-1}{2} = \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} \rightarrow \frac 12 \quad \text{for } n\rightarrow\infty \end{equation*}\]

Vi har altså

\[\begin{equation*} \int_0^1 x\mathrm{d}x=\frac 12 \end{equation*}\]