Uge 7: Forberedelse

Uge 7: Forberedelse#

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

Riemann-integralt: det bestemte integral
Inddeling og Middelsummer
Infinitesimalregningens hovedsætning
Stamfunktion: det ubestemte integral
Partial integration og substitutionsmetoden
Riemann-integration af funktioner af to variable
Koordinatskifte i 2D
Polære koordinater

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Læsepensum: Afsnit 6.1 til 6.3
Python demo

Forberedelsesopgaver#

I: Stamfunktioner til udenadslære#

For hvilke af de følgende funktioner kan du straks angive en stamfunktion?

$x^{n}, n \in N$
$\frac{1}{x}$
$\ln (x)$
$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$\cos (x)$
$\sin (x)$
$\exp (x)$

Hvor du måtte melde pas: Find en stamfunktion fx med Sympys integrate og indskriv venligst resultatet i din langtidshukommelse.

II: Riemann-sum for $x^{2}$ #

Betragt funktionen $f : [0, 1] \to R$ givet ved

f (x) = x^{2}

Beregn Riemann summen af $f$ over $[0, 1]$ med $4$ lige store delintervaller, idet du benytter højre endpoints i hvert delinterval. Sammenlign derefter resultatet med det eksakte udtryk for integralet, som findes ved stamfunktionen.

Svar

Riemann-summen giver

\sum_{j = 1}^{4} {(\frac{j}{4})}^{2} \frac{1}{4} = 15 / 32 \approx 0.47 .

Den eksakte fundet ved stamfunktionen er $1 / 3$ .

III: Parametrisering af cirkelskivens rand#

Lad

B = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2}

være cirkelskiven i planen med centrum i $(0, 0)$ and radius $\sqrt{2}$ . Angiv en parametrisering af cirkelskivens rand $\partial B$ .

Svar

Der er uendeligt mange måder at parametrisere randen på. Her er et fornuftigt valg via polære koordinater:

r r (t) = (\sqrt{2} \cos (t), \sqrt{2} \sin (t)) for t \in [0, 2 π [.

Her er mindre fornuftig parametrisering: $r r_{1} (x) = (x, \sqrt{2 - x^{2}})$ for $x \in [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ som skal sættes sammen med $r r_{2} (x) = (x, - \sqrt{2 - x^{2}})$ for $x \in] - \sqrt{2}, \sqrt{2} [$ .