Uge 1: Forberedelse#
Læsestof#
Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-vidoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.
Du skal læse og studere:
Repetition: Studér Kapitel 0
Store Dag: Kapitel 1, Afsnit 2.1, Afsnit 3.1 og Afsnit 3.2
Lille Dag: Afsnit 2.2, Afsnit 3.2 og Afsnit 3.3
Python demo
Nøglebegreber#
Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:
Skalar-funktioner: specielt kvadratiske former
Vektor-funktioner
Visualisering af funktioner: Grafer og niveaukurver/mængder
Kontinuitet
Det sædvanlige indreprodukt (prikproduktet) og norm i \(\mathbb{R}^n\)
Partielle afledte og Gradientvektoren
I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.
Forberedelsesopgaver#
I: Funktionsværdien i et punkt#
Spørgsmål a#
Indsæt værdierne \(x = 2\) og \(y = -1\) i funktionsudtrykket \(f(x, y) = x^2 + 3xy + 4y^2\) og beregn \(f(2, -1)\).
Hint
Erstat \(x\) med \(2\) og \(y\) med \(-1\) i udtrykket \(x^2 + 3xy + 4 y^2\).
Svar
\(f(2, -1) = 2^2 + 3(2)(-1) + 4(-1)^2 = 4 - 6 + 4 = 2\)
Spørgsmål b#
Lad \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved funktionsudtrykket \(g(x_1, x_2) = x_1^2 + 3x_1 x_2 + 4 x_2^2\). Beregn \(g(2, -1)\).
Hint
Det er samme funktionsudtryk som i forrige opgave, så fremgangsmåde og svar er det samme.
Spørgsmål c#
Lad \(\alpha \in \mathbb{R}\). Find \(g(2 \alpha, \alpha)\) og \(g(\alpha, 2 \alpha)\), hvor \(g\) er defineret i forrige opgave. Udregn den afledte af \(g(2 \alpha, \alpha)\) med hensyn til \(\alpha\).
Hint
For \(g(2 \alpha, \alpha)\), indsæt \(x_1 = 2 \alpha\) og \(x_2 = \alpha\) i \(g(x_1, x_2) = x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_2^2\). Gentag for \(g(\alpha, 2 \alpha)\). For den afledte skal du differentiere udtrykket for \(g(2 \alpha, \alpha)\) mht \(\alpha\).
Svar
Ved indsættelse fås: \(g(2 \alpha, \alpha) = (2\alpha)^2 + 3(2 \alpha)(\alpha) + 4(\alpha)^2 = (4+6+4)\alpha^2 = 14 \alpha^2\) og \(g(\alpha, 2\alpha) = (\alpha)^2 + 3(\alpha)(2\alpha) + 4(2\alpha)^2 = (1+6+8) \alpha^2 = 15 \alpha^2\).
Den afledte af \(g(2 \alpha, \alpha)= 14 \alpha^2\) med hensyn til \(\alpha\) er \(\frac{d}{d\alpha} \big( 14 \alpha^2 \big) = 28 \alpha = 28 \alpha\).
II: Grænseovergang af en funktion \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)#
Lad \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved:
Spørgsmål a#
Find \(f(x, x)\) for \(x \neq 0\). Find dernæst \(f(y, y)\) for \(y \neq 0\).
Hint
Indsæt \(y = x\) i funktionsudtrykket for \(f(x,y)\). Husk at forenkle brøken.
Hint
Når du har fundet \(f(x, x)\), kan \(f(y, y)\) findes ved blot at erstatte \(x\) med \(y\). Der er jo tale om samme udtryk, blot med forskellig benævnelse af den variable.
Svar
For \(x \neq 0\):
Spørgsmål b#
Bestem \(\lim_{x \to 0} f(x,x)\).
Svar
Af udtrykket i forrige opgave fås:
Spørgsmål c#
Bestem \( \lim_{x \to 0} f(x,2x) \).
Hint
Indsæt \( y = 2x \) i formlen for \(f(x,y)\) og reducer udtrykket.
Svar
For \( x \neq 0 \) fås \(f(x,2x) \;=\; \tfrac{2}{5} + x\) og derfor
Spørgsmål d (ekstra, frivillig)#
Overvej om grænseværdien \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\) eksisterer.
Svar
Når vi nærmer os \((0,0)\) langs linjerne \(y=x\) and \(y=2x\), finder vi to forskellige værdier. Da grænseværdien afhænger af vejen, eksisterer \( \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\) ikke. Dette viser at \(f\) ikke er kontinuert i \((0,0)\) (selv hvis vi fik lov til at ændre funktionsværdien \(f(0,0)\)).
III: Niveaukurver#
Beskriv niveaukurverne (contour lines) for funktionen \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) givet ved \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 5\).
Hint
Brug fx Python. Niveaukurven for \(f(x, y) = 9\) kan fx plottes ved:
x, y = symbols("x y", real=True)
f = x**2 + y**2 - 5
dtuplot.plot_implicit(Eq(f,9), x,y)
IV: Graf eller niveau-kurve?#
Nedenfor vises grafen af en funktion \(f_1\) af en variable og en niveaukurve af en funktion \(f_2\) af to variable. Hvilket plot er grafen og hvilet plot er niveaukurven?
V: Diskontinuert i ét punkt#
Tegn, beskriv eller definér en funktion \(h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), der er kontinuert i alle punkter undtagen et enkelt punkt.
Svar
En mulig funktion er \(h(x) = \begin{cases} x & \text{hvis } x \neq 1 \\ 0 & \text{hvis } x = 1 \end{cases}\). Denne funktion er kontinuert overalt undtagen i \(x = 1\).
VI: Diskontinuitet af Heaviside’s trin-funktion#
Spørgsmål a#
Plot Heaviside’s trin-funktion givet her i Python.
Hint
Se ugens Python demo.
Spørgsmål b#
Angiv i hvilke punkter funktionen er diskontinuert.
Svar
Funktionen er kun diskontinuert i \(0\).
Spørgsmål c#
Kan du vise a funktionen er diskontinuert i \(x_0=0\).
Hint
Diskontinuitet i et punkt betyder intuitivt at funktionen springer i dette punkt. Dette er dog ikke en definition vi kan arbejde med. Fx findes der mange funktioner som tilsyneladende “springer” over alt, men som alligevel er kontinuerte. Thomae’s funktion er et eksempel på en funktion, der tilsyneladende “springer” på hele den reelle linje, men som alligevel er kontinuert i alle irrationelle tal (og diskontinuert i alle rationelle tal!).
Hint
For at bevise diskontinuitet må vi have fat i den præcise betydning af denne egenskab. Find \(\epsilon-\delta\)-beskrivelsen i lærebogen.
Hint
En funktion \(f\) er diskontinuert i \(x_0\) hvis vi kan finde et \(\epsilon > 0\) således at intet \(\delta > 0\) kan få \(|x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\) til at være sand.
Skrevet med kvantorer: \(f\) er diskontinuert i \(x_0\) hvis og kun hvis \(\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x : |x-x_0| < \delta \text{ og } |f(x)-f(x_0)| \ge \epsilon\).
Hint
Funktionen er diskontinuert i \(0\), så vi skal betragte \(x_0 = 0\). Husk at Heaviside-funktionen opfylder \(f(0)=1\).
Hint
Vælg \(\epsilon = 1/2\) (den præcise værdi er underordnet så længe den er \(<1\)).
Svar
Lad \(\delta>0\) være et vilkårligt lille tal, fx \(\delta = 10^{-100}\) (men husk at \(\delta\) kan være vilkårligt lille; dog større end nul). Vælg \(x = -\delta/2\). Så vil \(|x-x_0| = |-\delta/2 - 0| = \delta/2 < \delta\) og \(|f(x)-f(x_0)| = |0 - 1| = 1 \ge 1/2 = \epsilon\). Dette viser at Heaviside-funktionen er diskontinuert i \(x_0 = 0\). Alternativt kan vi tænke på dette som, at intet \(\delta > 0\) kan få \(|x-0| < \delta \Rightarrow |f(x)-1| < 1/2\) til at være sand.
Oven for kan man også vælge \(x = -\delta/3\) (Hvorfor egentligt det?). Men argumentet bryder sammen, hvis man vælger fx \(x = \delta/2\).