Uge 3: Afrunding

Uge 3: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

Vektorrum med indre produkt og norm
$R^{n}$ og $C^{n}$
Projektioner på linjen
Projektioner på underrum
Ortonormal baser
Gram-Schmidt proceduren
Ortogonale og unitære matricer

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Er dette en projektion?#

Opgaven er fortsat fra Opgave III: En linear afbildning der er en projektion? i Uge 3: Forberedelse. Betragt den lineære afbildning ${proj}_{Y} : R^{4} \to R^{4}$ givet ved:

{proj}_{Y} (x x) = P x x, hvor P = [\begin{matrix} 1 / 2 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{matrix}] .

Spørgsmål a#

Bestem billedrummet $im ({proj}_{Y})$ og nulrummet/kernen $\ker ({proj}_{Y})$

Svar

Vi bemærker, at søjlerne i $P$ er:

{Col}_{1} = {(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)}^{T}, {Col}_{2} = {(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})}^{T},

og at søjle 3 og 4 gentager disse. Derfor er

im ({proj}_{Y}) = col (P) = span {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} .

Nulrummet findes ved at løse $P x x = 0$ . Det giver betingelserne:

\frac{1}{2} (x_{1} + x_{3}) = 0 og \frac{1}{2} (x_{2} + x_{4}) = 0,

altså

x_{1} + x_{3} = 0 og x_{2} + x_{4} = 0.

Så

\ker ({proj}_{Y}) = {(x_{1}, x_{2}, - x_{1}, - x_{2}) : x_{1}, x_{2} \in R} = span {(1, 0, - 1, 0), (0, 1, 0, - 1)} .

Spørgsmål b#

Vis at $P^{2} = P$ og at $P^{*} = P$ . Dette viser faktisk at ${proj}_{Y}$ er en ortogonal projektion. Tænk over hvorfor $P^{2} = P$ er en rimelig egenskab for en projektionsmatrix.

Spørgsmål c#

Hvilket underrum $Y$ projicerer ${proj}_{Y}$ ned på?

Hint

Hvad kan matricen “ramme”? Hvad er værdimængden for projektionen?