Uge 1: Opsamling#

Nøglebegreber#

  • Skalar-funktioner: specielt kvadratiske former

  • Vektor-funktioner

  • Visualisering af funktioner: Grafer og niveaukurver/mængder

  • Kontinuitet

  • Det sædvanlige indreprodukt (prikproduktet) og norm i \(\mathbb{R}^n\)

  • Partielle afledte og Gradientvektoren

Hvis der stadig er begreber du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse bogen.

Ekstra opgaver#

Lav opgaver fra store og lille dag som du endnu ikke har lavet.

1: Visualiseringer - tur på et bjerg#

Vi ser på et højdekort for et bjerg, hvor cirklerne er niveaukurver for højdefunktionen. Pilene angiver højdefunktionens gradientvektorfelt. På bjerget findes en elliptisk vandresti som på kortet er rød. Bjerg

Spørgsmål a#

Forestil dig du går en tur langs den røde sti i positiv omløbsretning (mod uret). Find de punkter på stien hvor stigningen er 0 (det går hverken opad eller nedad).

Spørgsmål b#

På hvilke stykker af stien går det opad, og på hvilke nedad?

Spørgsmål c#

Følg nu en af niveaukurverne på tegningen hele vejen rundt og betragt retningen af de gradientvektorer der ligger lige i nærheden. Konklusion?

Spørgsmål d#

Dette bjerg er selvfølgelig ret specielt. Men tag igen vandrestøvlerne på, og giv et intuitivt argument for hvorfor gradientvektorerne altid, på alle bjerge, må være vinkelrette på niveaukurverne?

2: Kontinuitet af førstegradspolynomier#

Bevis at polynomiumsfunktionen \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=3x\) er kontinuert i alle punkter \(x \in \mathbb{R}\).