Uge 9: Forberedelse

Uge 9: Forberedelse#

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Parameterfremstillinger for kurver i \(\mathbb{R}^n\)

  • Kurvelængde

  • Kurveintegralet

  • Stamfunktionsproblemet i \(\mathbb{R}^n\)

  • Vektorfelter og gradientfelter

Note

Kurveintegralet af et vektorfelt langs en kurve kaldes på DTU (men ikke mange andre steder) ofte for det tangentielle kurveintegral. I engelsk-litteratur hedder integralet the line integral of the vector field.

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Forberedelse og pensum#

  • Læsepensum: Afsnit 3.1 (de sidste to sider fra “Vector-valued functions of one variable”), Lemma 7.1.1(i), Afsnit 7.2 (kun de første to sider indtil “The surface integral”), 7.3 og 7.4 i Kapitel 7

  • Python demo 9, afsnittet om kurveintegraler og hele demo 10.

Bemærk at fladeintegraler i demo 9 og demo 11 om Flux og Gauss’ & Stokes’ sætning ikke er pensum.

Forberedelsesopgaver#

1: Parameterfremstilling og kurvelængde for en cirkel#

Lad \(\mathcal{C}\) være cirklen i \(\mathbb{R}^2\) givet ved ligningen

\[\begin{equation*} (x-1)^2 + y^2 = 4. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find centrum og radius for \(\mathcal{C}\).

Svar

Centrum er \((1,0)\) og radius er \(2\).

Spørgsmål b#

Vælg en parameterfremstilling \(\pmb{r}(t)\) for \(\mathcal{C}\) med \(t \in [0, 2\pi]\).

Svar

En naturlig parameterfremstilling er:

\[\begin{equation*} \pmb{r}(t) = \bigl(1+2\cos(t),\,2\sin(t)\bigr), \quad t\in [0,2\pi]. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Vi ved at kurvelængden er \(2\pi r\), dvs. \(4 \pi\), da dette er den velkendte formel for omkredsen af en cirkel. Vi skal her genfinde denne værdi ved hjælp af den generelle formel for kurvelængde. Bestem først Jacobianten, dvs. normen af \(\pmb{r}'(t)\), og udregn kurvelængden af \(\mathcal{C}\) ud fra formlen i bogen.

Svar

Udregn den afledte:

\[\begin{equation*} \pmb{r}'(t)=(-2\sin(t),\,2\cos(t)). \end{equation*}\]

Normen er

\[\begin{equation*} \Vert \pmb{r}'(t)\Vert = \sqrt{4\sin^2(t)+4\cos^2(t)} = \sqrt{4}=2. \end{equation*}\]

Kurvelængden (L) er da

\[\begin{equation*} L=\int_0^{2\pi} 2\,dt = 4\pi. \end{equation*}\]

2: Kurveintegral af en skalar funktion#

Lad \(f(x,y)=x^2+y^2\) og lad \(\mathcal{C}\) være samme cirkel som i opgave 1: Parameterfremstilling og kurvelængde for en cirkel med parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(t)=\bigl(1+2\cos(t),\,2\sin(t)\bigr),\quad t\in[0,2\pi]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find udtrykket for \(f(\pmb{r}(t))\).

Svar

Vi indsætter parameterfremstillingen:

\[\begin{equation*} f(\pmb{r}(t)) = (1+2\cos(t))^2+(2\sin(t))^2. \end{equation*}\]

Udvid og forenkl:

\[\begin{equation*} (1+2\cos(t))^2 = 1 + 4\cos(t)+4\cos^2(t), \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} (2\sin(t))^2= 4\sin^2(t). \end{equation*}\]

Så

\[\begin{equation*} f(\pmb{r}(t)) = 1+4\cos(t)+4\cos^2(t)+4\sin^2(t). \end{equation*}\]

Bemærk at (4\cos^2(t)+4\sin^2(t)=4) og derfor:

\[\begin{equation*} f(\pmb{r}(t)) = 5+4\cos(t). \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Beregn kurveintegralet

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{C}} f(x,y)\,ds. \end{equation*}\]

Svar

Kurveintegralet bliver:

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{C}} f(x,y)\,ds = \int_0^{2\pi} \Bigl(5+4\cos(t)\Bigr)\Vert \pmb{r}'(t)\Vert\,dt. \end{equation*}\]

Da (\Vert \pmb{r}’(t)\Vert = 2), fås:

\[\begin{equation*} \int_0^{2\pi} \Bigl(5+4\cos(t)\Bigr) 2\,dt = 2\int_0^{2\pi}\Bigl(5+4\cos(t)\Bigr) dt. \end{equation*}\]

Beregn integralet:

\[\begin{equation*} 2\left[5t + 4\sin(t)\right]_0^{2\pi} = 2\left(5\cdot2\pi + 4\cdot(\sin(2\pi)-\sin(0))\right)=2\cdot10\pi = 20\pi. \end{equation*}\]

3: Bestemmelse af et gradientfelt#

Betragt vektorfeltet \(\pmb{V}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(\pmb{V}(x,y)=(2xy,\,x^2)\).

Spørgsmål a#

Kan du gætte en funktion \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) så \(\nabla f = \pmb{V}\)?

Spørgsmål b#

Hvis man ikke kan gætte om der findes \(f\) så \(\nabla f = \pmb{V}\), hvordan skal man så gøre? Altså: Undersøg, om \(\pmb{V}\) er et gradientfelt. Hvis ja, find en stamfunktion \(f(x,y)\), så \(\nabla f = \pmb{V}\).

Svar

For at \(\pmb{V}\) skal være et gradientfelt, skal den betingelse gælde, at

\[\begin{equation*} \frac{\partial V_1}{\partial y} = \frac{\partial V_2}{\partial x}. \end{equation*}\]

Her har vi

\[\begin{equation*} \frac{\partial V_1}{\partial y} = \frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x, \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} \frac{\partial V_2}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x. \end{equation*}\]

Da disse er ens, er \(\pmb{V}\) et gradientfelt.

For at finde stamfunktionen \(f(x,y)\), integreres den første komponent med hensyn til \(x\):

\[\begin{equation*} f(x,y)=\int 2xy\,dx = x^2y + g(y), \end{equation*}\]

hvor \(g(y)\)er en funktion af \(y\) alene.

Differentier \(f(x,y)\) med hensyn til \(y\):

\[\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y}=x^2 + g'(y). \end{equation*}\]

Men vi skal have \(\frac{\partial f}{\partial y}= x^2\) (svarende til \(V_2\)), hvilket medfører at \(g'(y)=0\). Derfor er \(g(y)=C\).

Så stamfunktionen er:

\[\begin{equation*} f(x,y)= x^2y + C. \end{equation*}\]

Vi kan tage \(C=0\).

Contents