Uge 8: Afrunding

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber

• Riemann-integralet for skalarfunktioner af n variable

• Riemann-integralet for vektorfunktioner

• Transformationssætningen: Koordinatskifte i \(\mathbb{R}^n\)

• Jacobi-determinanten

• Typiske koordinater:

  • I \(\mathbb{R}^2\): Kartesiske og polære koordinater

  • I \(\mathbb{R}^3\): Kartesiske, sfæriske/kugle, cylinder/semi-polære koordinater

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Integration som “udglatter”

I denne opgave skal vi forstå det noget løst formulerede udsagn:

Integration gør funktioner mere glatte (de udglatter fx knæk), mens differentiation gør det modsatte.

Husk at ReLU funktionen er kontinuert, men ikke differentiabel.

Spørgsmål a

Argumenter (uden udregninger!) for at \(h_1(x) = \int_{0}^x \text{ReLU}(t) dt\) er en differentiabel funktion m.h.t \(x \in \mathbb{R}\).

Hint

Det er en stamfunktion til ReLU i følge Infinitisimalregningens hovedsætning.

Spørgsmål b

Find et funktionsudtryk for \(h_1(x)\). Argumenter for at \(h \in C^1(\mathbb{R})\)

Svar

\[\begin{equation*} h_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}x^2, & x \geq 0. \end{cases} \end{equation*}\]

Da ReLU er kontinuert, er dets stamfunktion \(h_1\) differentiabel med \(h_1'(x) = \text{ReLU}(x)\). Derfor tilhører \(h_1\) klassen \(C^1(\mathbb{R})\).

Spørgsmål c

Giver \(\tilde{h}_1(x) = \int_{1}^x \text{ReLU}(t) dt\) samme funktionsudtryk som \(h_1\)?

Svar

Nej, de har ikke samme funktionsudtryk, men de er begge stamfunktioner til ReLU. Vi har nemlig

\[\begin{equation*} \tilde{h}_1(x) = \int_{1}^{x} \operatorname{ReLU}(t)\,dt = \int_{0}^{x} \operatorname{ReLU}(t)\,dt - \int_{0}^{1} \operatorname{ReLU}(t)\,dt = h_1(x) - h_1(1). \end{equation*}\]

Da \(h_1(1) = \frac{1}{2}\), adskiller \(\tilde{h}_1\) sig fra \(h_1\) med konstanten \(-\frac{1}{2}\).

Spørgsmål d

Find et funktionsudtryk for \(h_2(x) := \int_{0}^x h(t) dt\). Argumenter for at \(h_2 \in C^2(\mathbb{R})\).

Svar

\[\begin{equation*} h_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{6}x^3, & x \geq 0. \end{cases} \end{equation*}\]

Spørgsmål e

Hvis vi fortsætter med at integrere på denne måde, bliver funktionerne så hele tiden mere glatte? Altså, bliver \(h_n\) en \(C^n\)-funktion?

Svar

Ja

2: Partiel integration og substitution i to variable

Spørgsmål a

Bestem \(\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} u\cos(u+v)\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v.}\)

Hint

Find ved partiel integration med hensyn til \(u\) en stamfunktion \(F(u)\) for funktionen

\[\begin{equation*} u\cos(u+v) \end{equation*}\]

Så vil

\[\begin{equation*} {F(\frac{\pi}{2})-F(0)} \end{equation*}\]

være en funktion af \(v\) som du nu skal finde en stamfunktion \(G(v)\) til. Og indsætte grænserne for \(v\) i.

Hint

\(G(v)=\frac{\pi}{2}\cos(v)-\sin(v)-\cos(v)\).

Svar

\(\displaystyle{\frac{\pi}{2}-2}\).

Spørgsmål b

Bestem \(\displaystyle{\int_0^1\left(\int_0^1 \frac{v}{(uv+1)^2}\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v.}\)

Hint

Find ved substitution med hensyn til \(u\) en stamfunktion \(F(u)\) for funktionen

\[\begin{equation*} {\frac{v}{(uv+1)^2}.} \end{equation*}\]

Så vil

\[\begin{equation*} {F(1)-F(0)} \end{equation*}\]

være en funktion af \(v\) som du nu skal finde en stamfunktion \(G(v)\) til. Og indsætte grænserne for \(v\) i.

Hint

\(\displaystyle{G(v)=1-\frac{1}{v+1}}\).

Svar

\(1-\ln(2)\).