Uge 8: Afrunding

Uge 8: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

  • Riemann-integralet for skalarfunktioner af n variable

  • Riemann-integralet for vektorfunktioner

  • Transformationssætningen: Koordinatskifte i \(\mathbb{R}^n\)

  • Jacobi-determinanten

  • Typiske koordinater:

    • I \(\mathbb{R}^2\): Kartesiske og polære koordinater

    • I \(\mathbb{R}^3\): Kartesiske, sfæriske/kugle, cylinder/semi-polære koordinater

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Integration som “udglatter”#

I denne opgave skal vi forstå det noget løst formulerede udsagn:

Integration gør funktioner mere glatte (de udglatter fx knæk), mens differentiation gør det modsatte.

Husk at ReLU funktionen er kontinuert, men ikke differentiabel.

Spørgsmål a#

Argumenter (uden udregninger!) for at \(h_1(x) = \int_{0}^x \text{ReLU}(t) dt\) er en differentiabel funktion m.h.t \(x \in \mathbb{R}\).

Hint

Det er en stamfunktion til ReLU i følge Infinitisimalregningens hovedsætning.

Spørgsmål b#

Find et funktionsudtryk for \(h_1(x)\). Argumenter for at \(h \in C^1(\mathbb{R})\)

Svar

\[\begin{equation*} h_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}x^2, & x \geq 0. \end{cases} \end{equation*}\]

Da ReLU er kontinuert, er dets stamfunktion \(h_1\) differentiabel med \(h_1'(x) = \text{ReLU}(x)\). Derfor tilhører \(h_1\) klassen \(C^1(\mathbb{R})\).

Spørgsmål c#

Giver \(\tilde{h}_1(x) = \int_{1}^x \text{ReLU}(t) dt\) samme funktionsudtryk som \(h_1\)?

Svar

Nej, de har ikke samme funktionsudtryk, men de er begge stamfunktioner til ReLU. Vi har nemlig

\[\begin{equation*} \tilde{h}_1(x) = \int_{1}^{x} \operatorname{ReLU}(t)\,dt = \int_{0}^{x} \operatorname{ReLU}(t)\,dt - \int_{0}^{1} \operatorname{ReLU}(t)\,dt = h_1(x) - h_1(1). \end{equation*}\]

Da \(h_1(1) = \frac{1}{2}\), adskiller \(\tilde{h}_1\) sig fra \(h_1\) med konstanten \(-\frac{1}{2}\).

Spørgsmål d#

Find et funktionsudtryk for \(h_2(x) := \int_{0}^x h(t) dt\). Argumenter for at \(h_2 \in C^2(\mathbb{R})\).

Svar

\[\begin{equation*} h_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{6}x^3, & x \geq 0. \end{cases} \end{equation*}\]

Spørgsmål e#

Hvis vi fortsætter med at integrere på denne måde, bliver funktionerne så hele tiden mere glatte? Altså, bliver \(h_n\) en \(C^n\)-funktion?

Svar

Ja

Contents