Uge 7: Afrunding

Uge 7: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

Riemann-integralt: det bestemte integral
Inddeling og Middelsummer
Infinitesimalregningens hovedsætning
Stamfunktion: det ubestemte integral
Partial integration og substitutionsmetoden
Riemann-integration af funktioner af to variable
Koordinatskifte i 2D
Polære koordinater

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Otte stamfunktioner der nu bør sidde#

Angiv en stamfunktion til hver af de følgende funktioner:

$x^{n}$ , hvor $n$ er en vilkårlig konstant i $Z$
$x^{k}$ , hvor $k$ er en vilkårlig konstant i $Q$
$\frac{1}{a x + b}$ , hvor $a \neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $R$ , og $x$ i passende interval.
$\cos (a x + b)$ , hvor $a \neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $R$ .
$f^{'} (x)$ , hvor $f$ er differentiabel
$\sin (a x + b)$ , hvor $a \neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $R$ .
$\exp (a x + b)$ , hvor $a \neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $R$ .
$\exp (a x + b)$ , hvor $a \neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $C$ .

Svar

Punkt 1: Antag $n > 0 :$ Som i punkt 1 i Opgave I: Stamfunktioner til udenadslære. Antag $n = 0 :$ Så drejer det sig om at finde en stamfunktion til 1. Antag $n = - 1 :$ Idet $x^{- 1} = \frac{1}{x},$ er det som i punkt 2 i Opgave I: Stamfunktioner til udenadslære. Antag $n =< - 1 :$ Eksempel: $\int u^{- 3} d u = \frac{1}{- 3 + 1} u^{- 3 + 1} = - \frac{1}{2} u^{- 2}$ som viser at $- \frac{1}{2 u^{2}}$ er en stamfunktion til $\frac{1}{u^{3}}$ .

Punkt 2: Antag at $k \neq - 1 :$ $\int x^{\frac{p}{q}} d x = \frac{1}{\frac{p}{q} + 1} x^{\frac{p}{q} + 1}$

Punkt 3: $\frac{1}{a} \ln (a x + b)$

Punkt 4: $\frac{1}{a} \sin (a x + b)$

Punkt 5: $f (x)$

På samme måde med punkt 6, 7 og 8.

2: Parametrisering af en trekant#

Betragt mængden $V \subset R^{2}$ givet ved

V = {(x, y) \in R^{2} | x \geq 1 \land y \geq 0 \land x + y \leq 3}

Angiv en parametrisering $r r : [0, 1]^{2} \to V$ af $V$ . Vektorfunktionen $r r$ skal være en funktion af to variable, fx $(u, v) \in [0, 1]^{2}$ , og billedmængden af $r r$ skal være $V$ .

Note

Funktionen $r r$ bør være injektiv på den åbne mængde $] 0, 1 [^{2}$ , men det er ikke et krav.