Uge 6: Øvelser

Uge 6: Øvelser#

Opgaver – Store Dag#

1: Kvadratisk ReLU#

Den kvadratiske ReLU er en aktiveringsfunktion \(\sigma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} \sigma(x)= (\operatorname{ReLU}(x))^2. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Argumentér for, at \(\sigma\) er kontinuert differentiabel, og find et udtryk for \(\sigma'(x)\).

Spørgsmål b#

Find samtlige stationære punkter for \(\sigma\). Udregn funktionsværdien i alle stationære punkter. Antager funktionen minimums- eller maksimumsværdi i de stationære punkter?

2: Ekstremum eller ej#

Lad \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=x^2 y + y \end{equation*}\]

Bestem samtlige lokale ekstrema for \(f\).

Hint

Da funktionen defineret på hele \(\mathbb{R}^2\) som ikke har nogle randpunkter, og da funktionen er differentiabel overalt, kan eventuelle ekstremumspunkter kun findes i funktionens stationære punkter.

Svar

Funktionen har ingen stationære punkter. Derfor ingen ekstrema.

3: Stationære punkter i et neuralt netværk med kvadratisk ReLU#

I denne opgave betragter vi et simpelt “shallow” neuralt netværk \(\pmb{\Phi}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) med ét skjult lag. Netværket bruger den kvadratiske ReLU-funktion som aktiveringsfunktion i det skjulte lag:

\[\begin{equation*} \sigma_1(z) = (\operatorname{ReLU}(z))^2 \end{equation*}\]

Netværket er defineret ved følgende vægtmatricer og bias-vektorer:

\[\begin{equation*} \pmb{A}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \pmb{b}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \pmb{A}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad b_2 = 3 \end{equation*}\]

Aktiveringsfunktionen i det skjulte lag påføres elementvist, \(\pmb{\sigma}_1(\pmb{z}) = \begin{bmatrix} \sigma_1(z_1) \\ \sigma_1(z_2) \end{bmatrix}\), mens output-laget er lineært (dvs. \(\sigma_2(z)=z\) er identitetsfunktionen). Netværksfunktionen er givet ved:

\[\begin{equation*} \pmb{\Phi}(\pmb{x}) = \pmb{A}_2 \pmb{\sigma}_1(\pmb{A}_1 \pmb{x} + \pmb{b}_1) + b_2 \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Opskriv et eksplicit funktionsudtryk for \(\pmb{\Phi}(x_1, x_2)\) som afhænger af \(x_1\), \(x_2\) og \(\sigma_1\).

Hint

Start med at beregne den affine del \(\pmb{A}_1 \pmb{x} + \pmb{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}\). Anvend derefter aktiveringsfunktionen på hver række og gang resultatet med rækkevektoren \(\pmb{A}_2\).

Spørgsmål b#

Find gradienten \(\nabla \pmb{\Phi}(x_1, x_2)\) i de områder af \(\mathbb{R}^2\), hvor hhv. den første neuron, den anden neuron eller begge er “aktive” (dvs. hvor argumentet til \(\sigma_1\) er positivt).

Hint

Husk fra 1: Kvadratisk ReLU, at \(\sigma_1'(z) = 2 \operatorname{ReLU}(z)\). Brug kædereglen på de enkelte led i dit udtryk fra spørgsmål a.

Spørgsmål c#

Vis, at mængden af stationære punkter for \(\pmb{\Phi}\) udgør en hel “strimmel” (en mængde af uendeligt mange punkter) i \((x_1, x_2)\)-planen. Find ulighederne, der beskriver denne strimmel.

Hint

“Strimlen” indeholder hele linjen \(x_2 = -x_1\), \(x_1 \in \mathbb{R}\), hvilket let eftervises ved at indsætte \(x_2 = -x_1\) i ligningerne for de stationære punkter.

Spørgsmål d#

Afgør om de stationære punkter er lokale minima, maksima eller sadelpunkter. Brug gerne et plot af funktionen til at understøtte din konklusion.

Svar

Netværket kan skrives som \(\pmb{\Phi}(x_1, x_2) = \sigma_1(x_1 + x_2 - 2) + \sigma_1(-x_1 - x_2)\). De stationære punkter findes i området \(0 \le x_1 + x_2 \le 2\), hvor begge led er nul. Da \(\sigma_1(z) \ge 0\), er alle disse punkter globale minima med værdien \(3\). Funktionen har ingen maksimumsværdi, da \(\pmb{\Phi}(t, t) \to \infty\) for \(t \to \infty\).

4: Globalt maksimum og globalt minimum#

Lad \(f: A \to \mathbb{R}\) være givet ved:

\[\begin{equation*} f(x,y)=xy(2-x-y)+1 \end{equation*}\]

hvor \(A \subset \mathbb{R}^2\) betegner det område i \((x,y)\)-planen hvor \(x\in\left[ 0,1\right]\), og \(y\in\left[ 0,1\right]\).

Spørgsmål a#

Find samtlige stationære punkter for \(f\) i det indre af \(A\). Brug gerne SymPy til at finde de (der er 4) stationære punkter for \(f\) på \(\mathbb{R}^ 2\), da de to ligninger \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\) og \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\) ikke er helt nemme at løse - ellers regn i hånden, men spørg din hjælpelærer om en hint.

Svar

I det indre af \(A\) findes ét stationært punkt, nemlig \((\frac{2}{3},\frac{2}{3})\).

Spørgsmål b#

Bestem den globale maksimums- og minimumsværdi for \(f\) samt de punkter hvori disse værdier antages.

Hint

Kan vi overhovedet vide, at \(f\) har globalt maksimum og globalt minimum?

Hint

Ja, da funktionen er kontinuert og \(A\) er begrænset og lukket/afsluttet. Find denne sætning i bogen.

Hint

De globale ekstrema findes:

  1. på randen af \(A\) (men i \(A\)),

  2. i undtagelsespunkter hvor funktionen ikke er differentiabel, eller

  3. i funktionens stationære punkter.

Hint

Randundersøgelsen gennemføres nemmest ved at betragte restriktionen af \(f\) til de relevante dele af linjestykkerne \((x,0)\), \((0,y)\), \((x,1)\) og \((1,y)\). (Med “relevante” menes her at vi kun skal betragte \(x\) og \(y\) mellem 0 og 1, da vi ellers ikke længere er på randen af \(A\))

Hint

Når du har fundet stationære punkter og lokale ekstrema langs restriktionerne, skal du udregne funktionsværdierne i alle disse punkter samt i linjestykkernes endepunkterne: \((0,0)\), \((1,0)\), \((0,1)\) og \((1,1)\). Den største af disse funktionsværdier er globalt maksimum af \(f\) og den mindste globalt mimimum.

Svar

Global maksimumværdi = \(\frac{35}{27}\) som antages i \((\frac{2}{3},\frac{2}{3})\). Global minumiumværdi = 1 antages på hele linjestykket \((x,0)\) for \(0\leq x \leq 1\), på hele linjestykket \((0,y)\) for \(0\leq y \leq 1\) og i punktet \((x,y)=(1,1)\).

Spørgsmål c#

Opgaven her handler om en differentiabel funktion af to variable defineret på \([0,1]^2\). Hvordan ville du gribe opgaven an, hvis den handlede om en differentiabel funktion af fem variable defineret på \([0,1]^5\). Diskuter en mulig fremgangsmåde. I må gerne inddrage en god AI chatbot fx https://chatgpt.com/ eller https://copilot.microsoft.com/ i diskussionen.

Hint

Man finder først stationære punkter i \(]0,1[^5\), det indre af \([0,1]^5\). Da funktionen er differentiabel, er der ingen undtagelsespunkter.

Hint

Randen består af punkterne \((x_1,x_2,\dots,x_5)\) hvor én af koordinaterne er \(0\) eller \(1\). Randen består altså af \(2 \cdot 5=10\) forskellige \(4\)-dimensionale flader.

Hint

For hver af de 10 forskellige randflader skal vi nu betragte restriktionen af \(f\) til randfladen, fx \((x_1,x_2,x_3,x_4,0)\) hvor \(x_i \in [0,1]\). Her bliver \(f\) en funktion af 4 variable, som vi så igen skal finde ekstremumspunkter for.

Hint

Men denne nye funktion har jo igen \(2 \cdot 3 = 6\) randflader af dimension \(3\). Og vi har 10 af disse funktioner. Fremgangsmåden bliver altså hurtigt uoverskuelig - både for håndregning og faktisk også for computere.

Note

En “terning” i \(\mathbb{R}^n\) har \(2 \, n\) randflader og \(2^n\) hjørnepunkter. Bemærk at dette er ikke nogen universel regel om “firkantede domæner” i højere dimensioner. Fx: En “diamant/oktaeder” i \(\mathbb{R}^n\), som er givet ved \(|x_1|+ |x_2| + \cdots + |x_n| \le 1\), har omvendt \(2^ n\) randflader og \(2 \, n\) hjørnepunkter.

Spørgsmål d#

Bestem værdimængden af \(f\).

Svar

Da \(A\) er sammenhængende, så sluttes det, at værdimængden er \(\operatorname{im}(f) = [f_\text{min},f_\text{max}] = [1,35/27]\).

Spørgsmål e#

Plot grafen for \(f\) sammen med punkter der viser hvor på grafen største- og mindsteværdien antages, og tjek at dine resultater ser fornuftige ud.

5: Tilbage til Tema 1#

I Tema 1: Gradientmetoden betragtede vi tre funktioner af formen \(f_i: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\). Alle funktionerne havde præcist et minimum, men ikke noget maksimum da de voksede mod uendeligt. Du må bruge denne oplysning uden bevis.

Vi bruger her funktionerne (med deres standardværdier) givet i Python ved:

# Variable og parameter der ingår i funktionerne
x1, x2 = symbols('x1 x2', real=True)
a, lambda1 = symbols('a lambda1',  positive=True)

def f1(x1, x2, a = S(1/2)):
    return a * x1**2 + 1 * x2**2

def f2(x1, x2, lambda1 = 0.5):
    Q = 1/sqrt(2) * Matrix([[1,1],[1,-1]])
    A = Q.T * Matrix([[lambda1,0],[0,1]]) * Q
    b = Matrix([-2,4])
    x = Matrix([x1,x2])
    q = x.T * A * x + x.T * b
    return q[0] 

def f3(x1, x2):
    return (1 - x1)**2 + 100*(x2 - x1**2)**2

I tema-øvelsen brugte vi gradient-metoden til at lede efter minimumspunktet og minimumsværdien. Det er en god metode fx når funktionen har mange (evt uendeligt mange) punkter hvor den ikke er differentiabel, men for pæne funktioner (fx funktioner der er uendeligt ofte differentiable) som de tre betragtede funktioner, er det meget nemmere blot at finde de punkter hvor gradienten er lig med nulvektoren.

Spørgsmål a#

Find alle stationære punkter og den tilhørende minimumsværdi for hver af de tre funktioner. Selvom funktionerne er givet i Python bør du regne denne opgave i hånden – det tager ikke længere tid.

Hint

Funktionen \(f_3\) hedder Rosenbrocks bananfunktion. Det stationære punkt kan være lidt svært at finde. Fra \(\frac{\partial f_3}{\partial x_2}(x_1,x_2) = 200(y-x^2)\) ses dog at \(\frac{\partial f_3}{\partial x_2}(x_1,x_2) = 0\) medfører at \(x_2=x_1^2\). Brug dette i ligningen \(\frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} = 0\).

Spørgsmål b#

Angiv billedmængden for hver funktion.

6: Globalt maksimum og globalt minimum igen#

Betragt funktionen \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=x^2-3y^2-3xy \end{equation*}\]

samt mængden \(A=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,| \, x^2+y^2\leq 1\rbrace\).

Gør rede for, at \(f\) har både et globalt maksimum og et globalt minimum på \(A\) og bestem disse værdier samt de punkter hvori de antages.

Til randundersøgelsen \(f\vert_{\partial A}\) bør du bruge SymPy.

Hint

Funktionen er kontinuert og \(A\) er begrænset og lukket/afsluttet.

Hint

Kandidaterne til største- og mindsteværdi udgøres af funktionens stationære punkter samt de lokale ekstrema på randen af \(A\).

Hint

Det eneste stationære punkt for \(f\) i definitionsmængden er \((0,0)\). Herefter skal vi undersøge restriktionen af \(f\) til randen af \(A\).

Hint

Randen af \(A\) kan parametriseres ved \((x,y)=(\cos (t),\sin(t))\) hvor \(t\in\left[ 0,2\pi\right] \).

Hint

Restriktionen af \(f\) til randen af \(A\) er da \(g(t)=f(\cos (t), \sin( t))\) hvor \(t\in\left[ 0,2\pi\right]\). Plot grafen for \(g'(t)\), og bestem dens nulpunkter vha. SymPy.

Hint

Kandidaterne til globalt maksimum og minimum udgøres af \((0,0)\), de punkter der svarer til løsningen på \(g'(t)=0\) og værdien af \(g\) i randkurvens endepunkter (faktisk er der kun ét endepunkt, hvorfor?). Udregn funktionsværdierne for \(f\) i disse punkter. Den største funktionsværdi er funktionens globale maksimum på \(A\), og den mindste værdi er funktionens globale minimum på \(A\).

Svar

Globalt minimum = \(-\frac{7}{2}\) antages i \(\left(\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)\) og \(\left(-\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)\).

Globalt maksimum = \(\frac{3}{2}\) antages i \(\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{-\sqrt{10}}{10}\right)\) og \(\left(\frac{-3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\).

7: Stationære punkter for kvadratiske former#

Lad \(q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) være en kvadratisk form. Men andre ord: \(q\) har funktionsforeskriften

\[\begin{equation*} q(\pmb{x}) = \pmb{x}^T A \pmb{x} + \pmb{x}^T \pmb{b} + c \end{equation*}\]

hvor \(A\) er en \(n \times n\) matrix (og ikke nulmatricen), \(\pmb{b} \in \mathbb{R}^n\) er en søjlevektor og \(c \in \mathbb{R}\).

Der gælder at \(q\) er en differentiabel funktion med \(\nabla q(\pmb{x}) = (A + A^T) \pmb{x} + \pmb{b}\) i følge dette eksempel. Dette skal ikke vises (før den sidste opgave).

Spørgsmål a#

Opskriv et system af ligninger hvis løsning beskriver de stationære punkter. Argumenter for at \(q\) kan have enten nul, et eller uendeligt mange stationære punkter.

Svar

De stationære punkter er givet ved: \(\nabla q(\pmb{x}) = (A + A^T) \pmb{x} + \pmb{b} = \pmb{0}\), som svarer til \((A + A^T) \pmb{x} = - \pmb{b}\).

Hint

Det linenære ligningssystem har enten nul, et eller uendeligt mange stationære løsninger. Husk tilbage til lineær algebra fra Mat1a, hvornår hver af de tre situationer optræder.

Spørgsmål b#

Antag at \((A + A^T)\) er invertibel. Argumenter for at \(q\) har netop et stationært punkt. Find det stationære punkt (du skal altså finde en formel eller udtryk for det stationære punkt).

Svar

\(\pmb{x} = - (A + A^T)^{-1} \pmb{b}\).

Spørgsmål c#

Antag \(A\) er symmetrisk. Argumenter for at \(q\) har netop ét stationært punkt hvis og kun hvis \(\lambda=0\) ikke er en egenværdi for \(A\).

Hint

Hvis \(A\) er symmetrisk, er \(2A = (A + A^T)\). Så ligningssystemet er \(2 A \pmb{x} = -\pmb{b}\), hvilket har præcis én løsning hvis og kun hvis \(A\) er invertibel, hvilket igen sker hvis og kun hvis \(\lambda=0\) ikke er en egenværdi. Bemærk at \(A = (1/2) \pmb{H}_q\) jf. Hesse-matricen betydning for stationære punkter.

Spørgsmål d (valgfri)#

Udled formlen som vi startede med at tage for givet: \(\nabla q(\pmb{x}) = (A + A^T) \pmb{x} + \pmb{b}\)

Hint

Start med at vise udsagnet for \(n=1\). Se så Eksempel 3.6 i Additional Notes

8: En udfordring i lineær algebra#

Lad \(A\) være en \(n \times n\) matrix. Gælder der at den symmetriske matrix \((A + A^T)\) er invertibel, hvis \(A\) er invertibel? Bevis det eller giv et modeksempel!

Hint

Der er ingen hints til denne opgave, men I er velkomne til at diskutere den på Ed.

Opgaver – Lille Dag#

1: Anvendelse af Hessematrix#

Betragt funktionen \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=x^2+4y^2-2x-4y \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Gør rede for at funktionen \(f\) har netop ét ekstremum, bestem ekstremumspunktet og ekstremumsværdien.

Hint

Eventuelle ekstremumspunkter kan kun findes i funktionens stationære punkter.

Hint

Bestem Hessematricen og dens egenværdier. Hvilken betydning har egenværdierne? Tjek evt. Theorem 5.2.4, Second partial derivative test.

Svar

Funktionen har ét stationært punkt, nemlig \((x,y)=(1,\frac{1}{2})\). Hessematricen er konstant og har overalt (og derfor også i dette punkt) positive egenværdier, så der er lokalt minimum i punktet. Minimumværdien er \(f(1,\frac 12)=-2\).

Spørgsmål b#

Hvad er forskellen mellem et ekstremum og et egentligt ekstremum (eng: strict extremum)? Er det fundne ekstremum et egentligt ekstremum?

Svar

Svaret på sidste spørgsmål er ja, se Theorem 5.2.4, Second partial derivative test.

2: Lokale ekstrema og approksimerende andengradspolynomium#

Givet funktionen \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) med forskriften

\[\begin{equation*} f(x,y)=x^3+2y^3+3xy^2-3x^2. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Det oplyses at funktionen har præcis 3 stationære punkter. Vis at punkterne \(A=(2,0)\), \(B=(1,-1)\) og \(C=(0,0)\) er stationære punkter for \(f\) og afgør for hvert af dem om der er et lokalt maksimumspunkt eller lokalt minimumspunkt. Angiv i givet fald den lokale maksimumsværdi/minimumsværdi, og afgør om den er egentlig (eng: strict).

Hint

For \(A\) og \(B\) kan sagen afgøres vha. egenværdierne for Hessematricen i punkterne. \(C\) kræver yderligere undersøgelse, man kan f.eks. lave fortegnsundersøgelse af \(f\) på linjen \(x=0\).

Hint

Nærmere bestemt: Hvad sker der med \(f(0,y)=2y^3\) når \(y=0\) passeres? Og hvad siger det om muligheden for ekstremum?

Svar

Der er egentligt minimum i punktet \(A\) med minimumsværdien \(f(2,0)=-4\). Der ikke ekstremum i \(B\) og \(C\).

Spørgsmål b#

Vis at det approksimerende andengradspolynomium for \(f\) med udviklingspunktet \(A\) kan skrives som en ligning i de ubekendte \(x,y\) og \(z\) på denne form:

\[\begin{equation*} z-c_3=\frac 12\lambda_1(x-c_1)^2+\frac 12\lambda_2(y-c_2)^2. \end{equation*}\]

Hvilken flade beskriver denne ligning, og hvad angiver konstanterne?

Hint

Få nu ligningen på formen

\[\begin{equation*} z-c_3=\frac{(x-c_1)^2}{a^2}+\frac{(y-c_2)^2}{b^2} \end{equation*}\]

Fladen kaldes en keglesnitsflade. Find ligningen her https://en.wikipedia.org/wiki/Quadric#Euclidean_space. Det kaldes en normalform.

Hint

Kig på ligningerne og figurerne i tabellen Non-degenerate real quadric surfaces.

Svar

\(\lambda_1\) og \(\lambda_2\) er egenværdierne for Hesse-matricen \(\pmb{H}_f\). Ligningen beskriver en opadvendt elliptisk parabloide med toppunkt \(T=(c_1,c_2,c_3)=(2,0,-4)\). NB: De to første koordinater i \(T\) angiver \(A\), mens det sidste er minimumsværdien for \(f\) i punktet \(A\).

Spørgsmål c#

Tegn grafen for \(f\) sammen med grafen for de approksimerende andengradspolynomier for \(f\) med udviklingspunkterne \(A\), \(B\) og \(C\). Diskutér om man ud fra egenværdierne for Hessematricerne i de tre punkter kan afgøre hvilken keglesnitsfladetype andengradspolynomierne beskriver.

3: Tilbage til Tema 1 igen igen#

Vi betragter den kvadratiske form \(f_2: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) fra Tema 1: Gradientmetoden. Den er givet ved \(q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)

\[\begin{equation*} q(\pmb{x}) = \pmb{x}^T A \pmb{x} + \pmb{b}^T \pmb{x} \end{equation*}\]

hvor \(A\) er en \(2 \times 2\) matrix der afhænger af \(\lambda_1 \in \mathbb{R}\)

\[\begin{equation*} A = Q^T \Lambda Q, \quad Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

og \(\pmb{b} = - 2 A [1,2]^T\). Ændringer i forhold til Tema-øvelsen: 1) \(\lambda_1\) må være nul eller negativ, 2) ny definition af \(\pmb{b}\).

Spørgsmål a#

Find egenværdierne for \(A\).

Hint

Matricen \(Q\) er reel ortogonal.

Svar

Fra spektralsætningen kan vi blot aflæse egenværdierne i diagonalen i \(\Lambda\) til \(\lambda_1\) og 1.

Spørgsmål b#

Find alle stationærepunkter for \(q\) når \(\lambda_1 \neq 0\)

Hint

Matricen \(A\) er symmetrisk. Og den er invertibel når \(\lambda_1 \neq 0\). Husk på formlen for gradienten for en kvadratisk form. Du behøver ikke lave nogle udregninger.

Svar

Gradienten i \(\pmb{x}\) er \(2 A \pmb{x} + \pmb{b}\). Så det stationære punkt er \(-(1/2) A^{-1} \pmb{b}\), hvilket med definitionen af \(\pmb{b} = - 2 A [1,2]^T\) bliver

\[\begin{equation*} -(1/2) A^{-1} \pmb{b} = -(1/2) A^{-1} (- 2 A) [1,2]^T = [1,2]^T. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Hvordan er \(A\) og Hesse-matricen \(\pmb{H}_f\) relateret? Find resultatet i bogen hvis du ikke kan huske det. Beskriv det stationære punkt for hver af de tre tilfælde \(\lambda_1 > 0\), \(\lambda_1 = 0\) og \(\lambda_1 < 0\).

Spørgsmål d#

Hvordan er \(q\) og det approksimerende andengradspolynomium (med et vilkårligt udviklingspunkt) relateret? Plot \(q\) for hver af de tre tilfælde \(\lambda_1 > 0\), \(\lambda_1 = 0\) og \(\lambda_1 < 0\). Hvilke normalformer er der tale om (jf. https://en.wikipedia.org/wiki/Quadric#Euclidean_space).

4: Globale ekstrema for funktion af tre variable#

Vi betragter funktionen \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y,z)=\sin(x^2+y^2+z^2-1)-x^2+y^2-z^2. \end{equation*}\]

samt den massive enhedskugle

\[\begin{equation*} \mathcal{K}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2\leq 1\right\}. \end{equation*}\]

Du må gerne bruge SymPy til at regne Hesse-matricen og dens egenværdier.

Spørgsmål a#

Vis at \(f\) i det indre af \(\mathcal{K}\) kun har ét stationært punkt, nemlig \(O=(0,0,0)\), og undersøg om \(f\) har ekstremum i \(O\).

Svar

Hessematricen viser der ikke er ekstremum i (0,0,0).

Spørgsmål b#

Bestem den globale maksimumsværdi og den globale minimumsværdi af \(f\) på \(\mathcal{K}\) og de punkter hvori værdierne antages.

Svar

Globalt max \(= 1\) antages i \((0,1,0)\) og \((0,-1,0)\). Globalt min \(= -1\) antages på cirklen \(\lbrace(x,y,z) \mid y=0 \text{ og } x^2+z^2=1\rbrace\).

Spørgsmål c#

Bestem værdimængden af \(f\) på \(\mathcal{K}\).

5: Hvor er det globale maksimum? Minimum?#

Givet funktionen \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) med forskriften

\[\begin{equation*} f(x,y)=\exp(x^2+y^2)-4xy \end{equation*}\]

Husk at \(\exp(x^2+y^2) = \operatorname{e}^{x^2+y^2}\). Du må gerne bruge SymPy til at finde gradienten, de stationære punkter og Hesse-matricen (og dens egenværdier).

Spørgsmål a#

Find samtlige stationære punkter for \(f\).

Hint

Opstil de to ligniger for de stationære punkter. SymPy har svært ved at løse ligningerne, så vi må hjælpe den på vej.

Hint

Vi bemærker først at \(y=x=0\) er en løsning. Vi skal se om der er andre. Så vi kan antage at fx \(x \neq 0\). Ud fra de to ligninger kan man konkludere at \(y^2 = x^2\), dvs \(y = \pm x\). Hvordan? (Prøv at isoler udtryk i den ene ligning og indsæt i den anden. Husk at du godt må dividere med \(x\), da det ikke er nul.)

Hint

Da \(\exp(x^2+y^2) \ge 0\), kan vi fra \(y^2 = x^2\), dvs \(y = \pm x\), faktisk konkludere at \(y=x\).

Hint

Indsæt \(y=x\) i de to ligninger og find løsningen. Dette kan gøres i SymPy eller i hånden.

Svar

De 3 stationære punkter er

\[\begin{equation*} (0,0) , \; \Big(\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\Big) , \; \Big(-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\Big) \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Find samtlige lokale ekstrema.

Svar

Der er egentligt minimum i punkterne \((\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}) \) og \( (-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}})\) med minimumsværdien \(2-2 \ln 2\).

Spørgsmål c#

Afgør om funktionen \(f\) har et globalt maksimum eller minimum, og angiv værdierne for disse hvis de eksisterer.

Svar

Der er intet globalt maksimum. Globalt minimum antages i punkterne \((\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}})\) og \((-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}})\) med værdien \(2-2 \ln 2\).

Spørgsmål d#

Angiv funktionens værdimængde.

Svar

Da funktionen er kontinuert er værdimængden \(\operatorname{im}(f)=[2-2 \ln 2,\infty[\).

Contents